Punto fijo

En matemáticas, un punto fijo de una función es un punto cuya imagen producida por la función es él mismo. Es decir, x es un punto fijo de la función f si y sólo si ${\displaystyle f(x)=x}$. Por ejemplo:

1) Si f está definida sobre los números reales como

${\displaystyle f(x)=x^{2},}$

entonces 0 y 1 son los puntos fijos de f, porque f(0) = 0 y f(1) = 1.

2) Si f está definida sobre los números reales como

${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$

entonces 2 es un punto fijo de f, porque f(2) = 2, y, además, es el único.

No todas las funciones tienen puntos fijos. Por ejemplo, si f es una función definida sobre los números reales como ${\displaystyle f(x)=x+1}$, entonces f no tiene ningún punto fijo, ya que x no es nunca igual a x + 1 para ningún número real. En términos gráficos, y en el dominio de los reales, que x sea un punto fijo significa que el punto ${\displaystyle (x,f(x))}$ pertenece a la recta ${\displaystyle y=x}$, o en otras palabras la gráfica de f tiene un punto en común con esa recta. El ejemplo ${\displaystyle f(x)=x+1}$ es un caso donde la gráfica de f y la recta y=x son rectas paralelas. Puede verse fácilmente que para la función ${\displaystyle f(x)=x}$ todos los puntos del dominio son puntos fijos.

Los puntos que vuelven al mismo valor después de un número finito de iteraciones de la función se conocen como puntos periódicos; un punto fijo es un punto periódico con periodo igual a 1.